PMA Chapter 2 : Basic Topology

어려워진다.

## Finite, Countable

set A, B에 대해 A의 원소 x마다 B의 원소 f(x)가 대응된다면 f를 function from A to B(or mapping of A into B)라 하고, A를 f의 domain(f is defined on A), f(x)를 values of f라 하며, set of all values of f는 range of f라 한다.

f : A -> B에 대해 f(A) = B라면 f maps A onto B라 한다.(전사함수)

for each y \in B에 대해 f^(-1) (y)가 원소가 한개 이하이면 f를 1-1 mapping이라 한다.(단사함수)

1-1 mapping of A onto B가 있다면 A와 B를 1-1 correspondence하다고 하며, same cardinal number을 가졌다고 한다. A ~ B로 표기.
이때,
(i) reflextive : A ~ A
(ii) symmetric : A ~ B then B ~ A
(iii) transitive : A ~ B B ~ C -> A ~ C

이를 만족하면 equivalence relation이라 부르는데, 1-1 correspondence(or equivalent)는 equivalence relation.

J_n = {1, 2, ..., n}, J = {set of positive int}라 하면, 
(a) A ~ J_n for some n이라면 A는 finite.
(b) A가 not finite이면 infinite.
(c) A ~ J이면 A는 countable.
(d) A가 finite하지도 않고 countable하지도 않으면 uncountable이라 함.
(e) A is at most countable <-> A is finite or countable
countable set = enumerable, denumerable..

finite set에 대해선 A ~ J_|A|이므로, |A| = |B|이면 A ~ B.

예시로, Z ~ J.

finite set은 proper subset과 equivalent할 수 없음(size에 의존하므로)
infinite set은 가능. ex) integer set Z ~ J

sequence : domain이 J,, f(n) = x_n으로 표기
countable set은 sequence로 arrange 가능

Theorem. countable set A의 every infinite subset는 countable.

pf) A를 sequence로 arrange : x_n.
E \in A에 대해,
x_n \in E인 최소 n을 n1이라 하자.
x_n \in E인 최소 n > n1을 n2라 하자. ..
g(k) = x_n_k. g는 1-1 correspondence of E ~ J. End

A intersect (B union C) = (A union B) intersect (A union C)

Theorem. {E_n} n = 1, 2, ... is a sequence of countable sets.
then, S = UNION_{n=1} inf E_n is countable.

pf)
E_n = {x_n1, x_n2, ..., }으로 표현. 
x_11 ; x_21, x_12; x_31, x_22, x_13; ...
S ~ T인 T \in J 존재하므로 S는 countable. End.

Theorem. A가 countable set이고 B_n be the set of all n-tuples (a_1, a_2, .., a_n) (a_k \in A for k = 1, ..., n) 이라면 B_n은 countable.

pf) B_1은 원소 하나뿐이므로 A와 같으므로 countable. B_(n-1)이 countable하다 가정하면
B_n의 원소는 (b,a) (b \in B_(n-1), a \in A)으로 표현 가능하고, b를 fix하면 (b, a)는 A와 equivalent하므로 countable. by 위의 theorem, union of countable set이므로 B_n은 countable.

결과 : rational numbers의 set Q는 countable.
pf) Q is subset of (a, b)

Theorem. A를 element가 0 or 1인 sequences들의 집합이라 하면 A는 uncountable.

pf). E를 A의 countable subset이라 하고, s_1, s_2, .. 으로 arrange.
sequence s = (s_i가 1이면 i번째가 0, 0이면 1) 이라 하면 s is not in E. End.

## Metric Spaces

set X에 대해, X가 metric space이기 위해선 다음이 성립해야 한다.

distance 함수 d(p, q)가 존재하여,
(i) p != q이면 d(p, q) != 0, d(p,p) = 0
(ii) d(p, q) = d(q, p)
(iii) d(p, q) <= d(p, r) + d(r, q) for any r \in X.

이를 만족하는 function을 distance function or metric이라 한다.
example) d(p, q) = |p-q|

k-cell : a_i < b_i for i = 1, 2, .., k에 대해 x = (x1, x2, ..., xk) \in R^k에 대해 a_i <= x_i <= b_i를 만족하는 x의 집합

open ball : |y-x| < r

definition of convex :
E \in R^k convex <-> for any x, y \in E, 0 < \gamma < 1, \gamma x + (1 - \gamma) y \in E.

## Important Definitions

(a) neighborhood of p = set N_r(p) = {q | d(p, q) < r}. r is radius of N_r(p).
(b) limit point of set E : every neighborhood of p contains q != p, q \in E.
(c) p \in E and p is not limit point -> p is isolated point of E.
(d) every limit point \in E -> closed
(e) point p is interior point of E <-> there is a neighborhood N of p, N \in E
(f) every point is interior -> open
(g) complement = E^C, p \in X such that p not in E.
(h) perfect : E is closed and every point is limit point of E
(i) bounded : exist point q and real M, d(p, q) < M for all p \in E.
(j) dense : E is dense in X if every point of X is limit point of E or point of E.

closed : limit \in E
open : all interior point
꼭 기억

every neighborhood is open set : trivial
if p is a limit point of E -> every neighborhood of p contains inf many points of E.
pf) finite하다고 하면 r = min d(p, q_m). N_r(p) 생각시 모순

(union E) ^ C = intersect (E^C)

Theorem. E is open <-> E^C is close.

pf) 
E^C가 closed라면, E가 open인 것을 증명하자. x \in E에 대해 x is not in E ^ C. so x는 limit point가 아니고, 따라서 exist N_r(x), N_r(x) union E ^ C = empty.
따라서 N_r(x) \in E. End
E가 open이라면, E^C의 limit point x에 대해 x \in E라면 exist N_r(x) \in E, 즉 N_r(x) union E ^ C = empty. limit point 아님. 따라서 x \in E ^ C. End

(a) open set G_1, G_2, ...에 대해 union G_i는 open.
(b) closed set F_1, F_2, ...에 대해 intersect F_i는 closed.
(c) FINITE collection G_1, ..., G_n(open)에 대해 intersect G_i는 open.
(d) FINITE collection F_1, ..., F_n(closed)에 대해 union F_i는 closed.

pf) (a) trivial, (b) use above theorem.
(c) x \in intersect G_i, 각각의 G_1, ...에 대해 x \in G_i이므로 exist r_i, R_r_i(x) \in G_i. r = min(r_1, ..., r_n)이라 하면 R_r(x) \in intersect G_i. End
(d) use above theorem

(c)와 (d)는 infinite일 때 성립 안함. ex) G_i = (-1/n, 1/n). intersect G_i = {0} (closed)

X가 metric space이고 E'이 E의 limit space 모아놓은 set이라 하면 E union E'을 E bar이라 하고 closure이라 한다.

Theorem. E \in X, X가 metric space일 때
(i) E bar is closed
(ii) E = E bar if and only if E closed
(iii) E bar \in F for every closed set F \in X such that E \in F.

(i) (iii) 종합시, E bar is smallest closed subset contains E.

pf) p not in E bar이면 p는 E의 원소도 아니고 p의 limit point도 아니므로 Ebar ^ C is open. 따라서 E bar is closed
(ii) E closed -> E = Ebar은 자명. 반대에 대해선, E_bar = E + E'이므로 E' \in E이어야 같으므로 E는 closed
(iii) F가 closed이고 E \in F이다. 이때 F'(limit point of F) \in F이므로, E' \in F'에서 E' \in F. 따라서 Ebar \in F.

Theorem. Y \in X일 때, subset E of Y is open relative to Y if and only if E = Y intersect G for some open set G of X.

pf) 
all p \in E, exist real r_p such that d(p, q) < r_p , q \in Y -> q \in E. 이 ball (중심 p, 반지름 r_p, 정의된 집합 X)을 V_p라 하면 G = union V_p이므로 G는 open subset of X. 
p \in V_p이므로 E \in Y intersect G
근데 저 조건상 V_p intersect Y \in E라서 E = Y intersect G
G는 open set의 union이라 open in X. 
반대로  E = Y intersect G라면, p \in E에 대해 E \in G이므로 exist neighborhood N_r(p) \in G, 여기서 N_r(p) union Y \in E. 이는 위 조건과 동치.


## Compact

Open Cover : open subsets of X의 collection인 {G_alpha}에 대해 E \in Union G_alpha

subset K of a metric space K is compact :
for EVERY open cover of K contains a FINITE subcover.

if K \in Y \in X, 
then K is compact relative to X <-> K is compact relative to Y.

pf) 
K가 X에서 compact하다면, V_alpha를 open relative to Y인 open cover이라 하자. there exist set G_alpha, open relative to X, such that V_alpha = Y intersect G_alpha. G에서 X compact를 이용하면, finite many indicies a1, a2, .., an 존재해 K \in G_a1 union G_a2 union .. G_an.

V_a1 = Y intersect G_a1 .. 정의시 K \in V_a1 union V_a2 union .. 따라서 K is compact relative to Y.

반대로 K가 Y에서 compact하다면, V_alpha = Y intersect G_alpha로 잡으면 V_alpha \in G_alpha이므로 K는 x에서 compact. End.


Theorem. metric space의 compact subsets는 closed.

pf) K가 X의 compact subset이라 하자. p \in X, p not in K인 p를 잡자. q \in K에 대해, V_q를 p 중심 neighborhood, W_q를 q 중심 neighborhood라 하자. (둘 다 반지름이 1/2 dis(p, q) 이하.) q \in W_q이므로 W_q는 open cover. 따라서 exist finite q1, q2, .., qn. K \in W_q1 union W_q2 union ... W_qn = W. W_qi랑 V_qi는 독립적이므로 V = V_q1 inter V_q2 inter ... V_qn 이라 V \in W^C, 따라서 V \in K ^ C. 즉 p는 K ^ C의 interior point이므로 K ^ C는 open, K는 closed.

Theorem. Closed subsets of compact sets are compact. 

pf) F \in K \in X라 하고 F가 closed(relative to X)라 하자. (K는 compact.) V_alpha가 open cover of F라 하자. V_alpha + F^C set은 open cover of K이므로, finite subset이 존재해 K의 open cover이 됨. 이는 마찬가지로 F도 덮음. F ^ C가 저 finite subset에 존재한다면 이를 제거해주면 이는 finite subset of V_alpha이면서 F를 cover. End.

따라서, E가 closed고 K가 compact하면 C intersect K는 compact. 

Theorem. {k_alpha}가 collection of compact subsets of metric space X이고, every finite subcollection of {K_alpha}가 nonempty하다면 \cap K_alpha는 nonempty. 

pf) 
K_1 고정, G_alpha = K_alpha ^ C로 정의. K_1의 어떤 원소도 모든 K_alpha에 속하지 않는다 가정시, G_alpha가 K_1의 open cover이 되는 G_alpha 존재, compact하므로 finitely many indicies a1, ..., an 존재, K_1 \in G_a1 \cup G_a2 \cup .. G_an. 그러나 이건 K_1 \cap K_a2 \cap ... K_G_an이 empty임을 의미함. 모순. End.

Theorem. (축소구간정리?) If {K_n} is a sequence of nomepty compact sets such that K_(n+1) \in K_n, then \caps 1_inf K_n is not empty.

pf) by above theorem.

Theorem. If E is inf subset of compact set K, then E has a limit point in K.

pf) 귀류. E가 K에서 limit point를 가지지 않는다면 for all q \in K, there exist r, N_r(q) \caps E = (phi or (q \in E일 때 q)

N_r(q) = V_q라 하면, {V_q}는 q \in K이므로 K의 open cover이지만 V_q 하나는 E의 원소를 최대 1개 포함하므로 finite subcover이 없음. 모순. End

Theorem. {I_n}를 R^1에서 intervals의 sequence라 하고 I_(n+1) \in I_n for all n이라면, \caps 1_inf I_n은 nonempty.(축소구간정리.)

pf) I_n = [a_n, b_n]이라 하자. E = set of a_i라 하면 E는 b_1이라는 upper bound 존재하므로 x = sup E 잡을 수 있음. 
x > b_m for some b_m이라면 b_m은 E의 upper bound가 아니므로 b_m < a_k인 k가 존재.. m > k이던 k < m이던 둘 다 모순. 따라서 x <= b_m for all m.
자명히 a_m <= x for all m이므로 x \in \caps 1_inf I_n. End.

Theorem, k가 positive integer일 때 {I_n}이 k-cells의 sequence이고 I_(n+1) \in I_n일 때, \caps 1_inf I_n은 nonempty.

pf) use below theorem.


Theorem. EVERY k-cell is compact.

pf) x = (x1, ... , xk)에 대해 a_i <= x_i <= b_i를 k-cell으로 하자. \delta = (sigma (bi - ai)^2) ^ (1/2)라 하면, |x-y| <= \delta for all x, y in k-cell이다. 

귀류법을 통해 증명하자. finite subcover이 없는 open cover {G_alpha} 존재 가정.  c_j = (a_j + b_j) / 2로 쪼개면, 각각의 구간을 2개로 쪼개면 2^k개의 k-cell으로 분할된다. 이들중 적어도 한개의 k-cell은 finite subcover이 없으므로 이를 I_1이라 하자. I -> I_1으로 잡은 걸 반복하자. 이를 통해 sequence {I_n}을 잡으면,
(1) I \supset I_1 \supset I_2 ...
(2) I_n is not covered by finite subcover of G_alpha
(3) x \in I_n and y \in I_n -> |x-y| <= 2 ^ (-n) \delta

by (1) and below theorem, there exist point x in all I_n. G_alpha가 open이므로 |y - x| < r -> y \in G_alpha를 의미하는 r이 존재하며, n이 커지면 2 ^ (-n) \delta < r이 되어 I_n \in G_alpha인 G_alpha 존재하게 되서 (2)에 모순. End.


THEOREM. 다음 3개는 동치이다. 
(a) E is closed and bounded.
(b) E is compact.
(c) Every int subset of E has a limit point in E.

pf) 
(a)가 성립한다면 E \in I for some k-cell I. compact set의 closed subset은 compact하므로 (b) 성립.
(b)가 성립한다면 위 정리에 의해 (c)도 성립.
(c)일때 (a)가 성립함만 보이면 된다.

E가 bounded가 아니라면 |x_n| > n인 point x_n을 모든 n = 1, 2, ..에 대해 가질 것이고, S = {x_n}이라 하면 이는 R^k에서 limit point를 가지지 않으므로 모순. 따라서 bounded.
E가 closed가 아니라면 어떤 x_0 \in R^k가 존재해 x_0이 E의 limit point이면서 E에 속하지 않을 것이다. x_n을 |x_n - x_0| < 1/n을 만족하는 x_n \in E로 정의하자. S = {x_n}이라 하면 limit point가 존재해야 하는데, 이는 x_0이 된다. y \in R ^ k, y  != x_0에 대해 
|x_n - y| >= |x0 - y| - |x_n - x_0| >= |x0 - y| - 1/n >= 1/2 |x0 - y| for inf many n이므로 y는 S에서 limit point가 없고, 모순. 따라서 E는 closed. (c) -> (a) 성립.


Theorem.(Weierstrass) Every bounded infinite subset of R^k has a limit point in R ^ k.

pf).
set E \in I \in R^k인 k-cell I 존재. I가 compact하므로 E는 I에서 limit point 존재.

## Perfect Sets

Perfect Set의 정의를 remind하자. CLOSED하며 every point = limit point.

Theorem. P가 R^k에서 nonempty perfect set이라면 P는 uncountable.

pf) P가 limit points를 가지므로 먼저 infinite함은 자명하고, countable을 가정하고 점들을 x1, x2, ... 으로 sequence로 표현하자. V_1를 x1의 아무 neighborhood로 잡자.

V_n이 construct되어있을 때, V_n \caps P가 nonempty이므로, 그리고 P의 모든 점이 limit point of P이므로 다음을 만족하는 P_(n+1)이 존재한다.
(i) V_(n+1)bar(closure) \in V_n
(ii) x_n not in V_(n+1)bar
(iii) V_(n+1) \caps P nonempty.

(iii)에 의해 지속적으로 sequence {V_i} construct 가능. K_n = V_n bar \caps P라 하면, V_nbar이 closed & bounded이므로 compact하다.
x_(n+1) not in K_(n+1)이므로, P의 point는 \caps 1_inf K_n 위에 없다. K_n \in P이므로 \caps 1_inf K_n이 empty여야 하는데, 위 theorem에 의하면 nonempty이므로 모순. End.

따라서, 모든 interval [a, b]는 uncountable. 마찬가지로 실수 집합은 uncountale. 

Cantor set(중앙을 빼는 것을 반복한 set, 3진법 표현시 0,2만 등장)은 measure이 0이지만 uncountable이다. 

## Connected Sets

A, B가 metric space X의 subset일 때,

A \caps Bbar and Abar \caps B가 모두 empty라면 이는 separated이라고 한다. 
 어떤 set E \in X가 union of two nonempty separated sets으로 표현될 수 없다면 이를 connected라고 한다.

예시로, [0, 1]이나 (1, 2)는 separated가 아니다. closure에서 limit point 1을 가지기 때문.

Theorem. subset of E in real line R ^1 is connected <-> for all x, y \in E, x < z < y, then z \in E.

pf)
만약 x, y \in E, z not in E, z \in (x, y)인 z가 존재했다면,
A_z = E \caps (-inf, z)
B_z = E \caps (z, inf)
으로 잡으면 E = A_z \cups B_z이며, x \in A_z이고 y \in B_z여서 둘 다 nonempty이며 A_z \in (-inf, z)이고 B_z \in (z, inf)이므로 separated이다. 따라서 E는 not connected.

E가 not connect이면 저런 z가 존재함을 보이자. A \cups B = E라면, x \in A, y \in B인 x, y를 적절히 고르고(wlog x < y)
z = sup(A \caps [x, y])
로 정의하면 z \in Abar이고, 따라서 z not in B이다. x <= z < y이다.

z not in A라면 x < z < y이고 z not in E이므로 성립하고
z \in A라면 z not in Bbar이므로, z1이 존재하여 z < z1 < y이고 z1 not in B. x < z1 < y이고 z1 not in E이므로 끝.

## Exercise

(1) trivial

(2) n + |a0| + ... + |an| = N으로 잡으면, A(N) : a0z^n + ... + a_(n-1)z + a_n = 0의 solution set이라 하면 저거를 만족하는 integers n, a0, .., an은 finite하고 저 equation의 solution 또한 finite하므로 A(N)은 finite(countable). 전체 algebraic set은 A(0) union A(1) union ... 이므로 countale. End.

(3) real number is uncountable.

(4) 맞으면 real number이 countable이었겠지?

(5) 1/n, 1+1/n, 2+1/n

(6) E'의 limit point c가 E의 limit point 또한 됨을 보이자. r/2에 대해 |c - x| < r/2인 x \in E' 존재하고, x \in E'이므로 |x - y| < r/2인 y \in E가 존재. |c - y| < |c - x| + |x - y| < r/2 + r/2 = r. 따라서 c는 E의 limit point이므로 c \in E', 즉 E'은 closed. E의 limit point = E'이고, Ebar의 limit point = E의 limit point \cups E'의 limit point = E의 limit point = E'이므로 성립. 

 E = {1/n}. E' = {0}. E의 limit point는 0이고 E'의 limit point는 없다.

(7)
A_1, ..이 metric space의 subsets라 하자. 
(a) B_n = B_n \cups B_n'
x \in A_i'이라면 

(8) 
open set의 element c \in E에 대해 N_r(c) \in E이므로, 어떤 c의 neighborhood N_r'(c)에 대해서도 N_r'(c) \caps E \supset N_r'(c) \caps N_r(c) = N_min(r, r')(c) is nonempty. 따라서 limit point of E. 
closed set에 대해선, {0}. wrong.

(9)
(a) prove that Ecircle ^ C is closed. 
Ecircle ^ C의 limit point c를 잡자. 임의의 r에 대해 N_r(c) \caps E_circle^C is nonempty. c not in E_circle ^ C라면 c \in Ecircle이므로 c는 E의 interior point이고 N_r(c) \in E인 r 존재. 
c가 Ecircle^C의 limit point이므로 |c - x| < r/2인 Ecircle ^ C의 원소 x 존재하고, x는 Ecircle ^ C의 원소이므로 interior point가 아니므로 N_(r/2) (x) /caps E는 empty(or x)이고, 따라서 |x - y| < r/2인 y (not in E) 존재. 종합하면 |c-y| < |c-x| + |x-y| < r/2 + r/2 = r인 y not in E 존재하므로 c는 Ecircle ^ C의 원소이고, 증명 끝.

(b) open은 E \in Ecircle을 의미한다. Ecircle \in E임은 자명하므로, 둘은 동치.

(c) p \in G이고 p not in Ecircle인 p 잡자. N_r(p) \caps G is not {p}이고, G \in F이므로 N_r(p) \caps E도 마찬가지.  그럼 p는 E에서 interior point이므로 모순

(d) Ecircle ^ C = (E ^ C) bar
Ecircle은 open이므로 Ecircle ^ C는 closed. 
Ecircle \in E이므로 E ^ C \in Ecircle ^C. 
따라서 일단 (E^C) bar \in Ecircle ^ C.
p \in Ecircle ^ C에 대해, p는 Ecircle의 원소가 아니므로 p는 E^C에 속하거나 E ^ C의 limt point.(아니라면 모순이므로) 따라서 Ecircle ^ C \in (E ^ C) bar. End.

(10)
interior point는 없다.
limit point가 없으므로 closed한 것은 없다. x \in F일 때 N_(1/2)(x) \in F이므로 모든 set은 open.

(11) 넣어봐 그냥

(12)
K의 open cover 잡자. 0을 포함하는 open cover의 sup을 생각하면 1/n.. 위는  finite하므로 finite.

(13) 
woojin han) sqrt(2)의 k번째 자리수에 +1/n 한 set

(14) 
(1/n, 1)

(15)
bounded : 그냥 open이면 됨 (0, 1/n)
closed : [n, inf]

(16) limit point가 p^2 < 2라면 (p+1/n)^2 < 2 인 n 존재. 모순. 따라서 closed. bounded임은 자명.

compact : sqrt(2)로 수렴하는 a_n 잡고 sqrt(2) < a_n인 n들 모아서 . 마찬가지로 b_n도 잡아서 (a_n, b_n)

open : p^2 > 2라면 (p - 1/n)^2 > 2인 n 존재하므로 open.

 

(17)

uncountable임은 자명. dense임은, 단순히 0.5만 생각해도 0.5는 limit point가 아님(가장 가까운게 0.47777...)

compact한가? bounded이고, limit point이기 위해선 길이가 무한해야 하고, digit가 4, 7이 아닌게 존재시 가장 큰 자리수 잡으면 limit point에 모순. 따라서 E에 속하므로 closed이고 따라서 compact. perfect는 아닌게, 길이가 finite한 E의 원소는 limit point가 아님.

 

(18) 

digit가 0, 2로만 이루어진 10진표기 0과 1 사이 무한소수(칸토르 집합의 변형, perfect)에 sigma 1/10^(2^i) 를 더하면 된다. 각 집합의 원소가 무리수임은 순환 주기가 존재한다 가정하고 모순임을 보이면 된다.

daniel choi) 무리수 하나 잡고, 2n번째 digit가 무리수의 n번째 digit와 같고, 홀수번째는 0 or 1만 가능하도록 하면 by 칸토르, perfect.

 

(19)

(a) disjoint인데 separate가 아니려면, wlog B의 limit point \caps A is nonempty, c라 하자.

c \in A. 따라서 c not in B. B는 closed set이므로 모순.

(b) 마찬가지로 c 잡자. c \in A, c not in B. N_r(c) \in A인 r 존재하므로 N_r(c) \caps B is empty. 모순.

(c) 두 open set이 disjoint.

(d) arrange by sequence : a1, ..., an.

dis(a1, ai)에 대해 모든 i에 대해 이게 같으면 {a1}, {else}에 대해 separate. 

다르면, wlog dis(a1, a2) < dis(a1, a3). dis(a1, ai) set은 countable하므로 (dis(a1, a2), dis(a1, a3)) set을 가득 채우지 못함.

따라서 Exist \delta, \delta = dis(a1, ai) 만족하는 i 없음. use (c). End.

 

(20)

closures가 separate라 하고, A / B로 분리된다 하자. A, B에 모두 original set의 원소가 있다면 closures의 원소를 다 빼버려도 separate이므로 connected set 가정에 모순. 따라서 한쪽에 몰려있고, 이를 A라 하면 Abar \caps B는 nonempty. End.

interiors의 경우 R^2에서 -1 ~ 1 x -1 ~ 1 square에서 y axis 위에 있는 것 제외하고 원점 넣은 집합 생각하면 connect인데 원점은 interior이 아니므로 interiors는 separate.

 

(21)

(a) disjoint임은 자명, Abar \caps B = t_0라면 p(t_0)는 Abar에 속하면서 B에 속함. 본래 조건에 모순.

(b) above theorem.. 요약하면 z = sup A로 잡으면 z not in A면 자명, z in A이면 z not in Bbar이므로 exist z1..

(c) connect가 아니라 하면 A, B로 분리가능.. by B, not convex.

 

(22) 

Q^k is countable, and dense.

 

(23)

일단 separable을 이용하려면, countable dense subset을 잡아야 한다. 그리고 hint처럼 countable dense subset을 중심으로 radius가 rational인 neighborhood를 잡으면, x \in G \in X에 대해 G가 open이므로 r 존재, N_r(x) \in G. dense subset이므로 exist y, |x-y| < r/2, y \in countable dense subset. 또한 rational number의 조밀성으로 인해 exist q \in Q, |x-y| < q < r/2인 q 존재. N_q(y) \in G. End.

 

(24) 

\delta = 1, 1/2, .., 1/n일 때

적절히 x1 \in X 잡고, x1, ..., xi 잡은 후 x_(i+1)을 dis(x_j, x_(i+1)) > \delta 되도록 x_j 잡는다. 이렇게 잡은 집합을 K라 하고, K가 만약 무한집합이었다면 K는 limit point 없으므로 유한집합, 이때 X의 원소를 중심으로 반지름 \delta neighboorhood 생각시 이는 전체 X의 open cover. \delta = 1, 1/2, ..., 1/n일 때 각각 X의 원소 중심 반지름 \delta를 countable dense set임을 보이자. 이를 E라 하자.

 

x \in X에 대해, 임의의 r에 대해 N_r(x) \caps E = nonempty임을 보이자. r > 1/n인 n 잡고 \delta = 1/n일 때 X가 open cover이 되므로 끝.

 

(25)

positive int n에 대해 k \in K에 대해 \cups N_(1/n)(k)는 K의 open cover, 따라서 compactness에 의해 exist finite indicies k1, k2, .. N_(1/n)(k1), ... 이를 X_n이라 하고 X = \cups X_n이라 하자.

 

K의 open subset E에 대해, x \in E에 대해 exist r, N_r(x) \in E. r/2 > 1/n인 n 잡고, X_n 생각시 Exist y \in X_n, |x - y| < 1/n. 

x \in N_(1/n)(y)이고, k \in N_(1/n)(y)에 대해 |x-k| < |x-y| + |y-k| < 2/n < r이므로 N_(1/n)(y) \in E. 따라서 X는 countale base.

 

separable인건, X의 중심들을 잡으면 임의의 K의 point k에 대해 N_r(k)는 open이므로 x = k로 잡으면 exist z \in X, x \in z \in N_r(k)이고, 따라서 z의 중심은 N_r(k) 위 존재. limit point.

 

(26) 

X has countable base. X의 모든 open cover에 대해 전체 union은 countable base의 union과 동일할 것이므로, countable subcover이 존재.(base 원소 b1, b2에 대해 b1 \in cover G_1, b2 \in ..  대응)

이를 G_n이라 하자. G_n의 finite subcollection이 X를 cover하지 않는다 가정. F_n = X \caps (G_1 \cups G_2 \cups .. G_n).

by 위 가정에 의해 F_n은 nonempty, F_(n+1) \in F_n,  ...

f_i \in F_i이도록 (그리고 f_i != f_1, f_2, .., f_(i-1)) 이도록 f_i 뽑는거 반복하자. 이것이 가능함은 F_i가 finite하면 모순임에서 보장된다. E = {f_1, f_2, ..}라 하면 inf set이므로 limit point c 존재, 

그리고 c \in G_k인 k 잡자. r_k = min(dis(c, f_1), dis(c, f_2), ..., dis(c, f_k))라 하자.  또한 G_k는 open이므로 N_r(c) \in G_k인 r 존재. 

r_final = min(r, r_k)라 하면, N_f_final(c) \caps E를 생각하자. f_m이 여기 속한다 하면, f_m \in G_k이므로 m < k이고, 그럼 r_k에 모순. 따라서 c는 limit point가 될 수 없음. 모순. 

따라서 어느 순간부터 F_i는 empty이고, 따라서 compact. End.

 

(27) 

P의 limit point를 c라 하자. |c-x| < r/2인 x \in P 존재, |x-y| < r/2인 y\inE uncountable, 따라서 |c-y| < r인 y \in E uncountale, 따라서 c \in P. (closed)

또한 p \in P에 대해 |p - x| < r인 x \in P가 없다면, N_(r/2) (p) 생각, 내부 점 x에 대해 x not in P이므로 N_(x(r)) \caps E 가 countable인 r(x) 존재. N_(r(x))(x)들의 집합은 open cover이고, R^k이므로 countable base가 존재하므로 countable subcover N_(r(x1))(x1), ..., N_(r(xn))(xn)... 존재. 이들은 countable이므로 |p-x| < r/2 안은 countable. 모순.

{V_n}을 R^k의 countable base라 하자. E \caps V_n이 countable인 V_n들의 union W를 잡자. P의 원소 p에 대해 p \in V_n이고 E \caps V_n이 at most countable이면, 임의의 N_r(p) \in V_n인 r에 대해 N_r(p) \caps E는 uncountable이고 N_r(p) \caps E \caps V_n은 countable이므로 모순. 따라서 p not in W, 즉 P \in W^C. 

P의 원소가 아닌 c 생각, c not in W라면 for all i( c \in V_i), V_i \caps E 는 uncountable. N_r(c) \caps E에 대해, 기본적으로 N_r(c)는 open set이므로 Exist V_k, c \in V_k \in N_r(c), 그리고 c \in V_k이므로 V_k \caps E는 countable, 따라서 N_r(c) \caps E는 uncountable. 따라서 c \in P. 모순. 따라서 P = W ^ C. 

P ^ C \caps E는 W \caps E이고 W는 E \caps V_n이 countable인 V_n들(countable개 존재)의 union 이므로 countable.

 

(28)

use exercise 27.

 

(29)

separable metric space이므로 countable base 존재, (23)에 의하면 이는 neighborhood. open interval setment들의 union은 disjoint segments들의 union으로 표현 가능하므로 끝.

 

(30)

귀류. for all N_r(c), N_r(c) not in F_i for all i. 

2.43의 증명처럼 V1, V2, ... 잡을 것이다. 

(i) V_(i+1)bar \in V_i

(ii) V_(i+1) \caps F_i = empty

이를 잡을 수 있음을 보이자. 만약 V_i \caps F_i^C = empty였다면 V_i \in F_i이므로 가정에 모순. 

따라서 V_i \caps F_i^C nonempty, 얘는 open이므로 Exist N_r(x) \in V_i \caps F_i^C. N_(r/2)(x) bar 생각하면 됨.

 

\cups F_i = R^k이므로 \caps V_i bar은 empty여야 하지만, 이는 compact이므로 nonempty. 모순.