PMA Chapter 3 : Numerical Sequences and Series

## Convergent of Sequences
 
엡실론, 델타.
 
{p_n} is sequence in a metric space X. {p_n} is converge if..
there is a point p \in X, for every e > 0, exist int N such that n >= N -> d(p_n, p) < e. 
{p_n} converges to p.. p is limit of {p_n}. p_n -> p으로 표기.(or lim n->inf p_n = p)
 
not converge -> diverge.
 
set of all {p_n} : range.
 
Theorem. {p_n} is sequence in metric space X.
(a) {p_n} converges to p \in X <-> every neighborhood of p contains p_n for all but finitely many n.(즉 유한개의 n 제외 모두 성립)
(b) if p \in X, p' \in X and converges to p and p' then p = p'
(c) {p_n} converges -> bounded
(d) E \in X and p is limit point of E, then there is a sequence {p_n} in E such that p = lim p_n
 
pf). 
(a) : trivial by definition
(b) : take r = |p - p'| / 2
(c) : r = max(1, dis(p1, p), ..., dis(p_N, p))
(d) : p_n을 dis(p_n, p) < 1/n인 p_n으로 잡자. 그럼 임의의 e에 대해 Ne > 1이도록 N 잡으면 dis(p_n, p) < e for all n > N.
 
Theorem :
lim(s+t) = lim s + lim t
lim cs = c lim s, lim(c+s) = c + lim s if c is scalar.
lim st = lim s lim t
lim 1/s = 1/lim s if s_n != 0 for all n and s != 0.
in R^k, x_n = (alpha1, n, alpha2, n ..., alpha k, n) is converges <-> lim alpha_j, n= alpha_j is all converge.
lim(x + y) = lim x + lim y. lim x dot y = lim x dot lim y. lim \beta x = lim \beta lim x.
 
pf) DO USE epsilon-delta.
 
## Subsequences
 
Definition. {p_n}에 대해, n_1 < n_2 < .. 인 positive int들에 대해 {p_n_i}를 subsequence of {p_n}이라 하며 {p_n_i}가 수렴할 경우 이를 subsequential limit of {p_n}이라 한다. 
{p_n} converges to p <-> every subsequence of {p_n} converges to p.
 
Theorem.
(a) p_n이 compact metric space X의 sequence라면 어떤 subsequence가 존재해 point of X에서 converge.
(b) Every BOUNDED sequence in R^k contains convergent subsequence.
 
pf).
(a) E가 finite하다면 by PHP, exist p \in E, p_n1 = p_n2 = .. = p.
E가 infinite이라면 compact metric set의 inf subset이므로 limit point 존재, 이를 p \in X라 하자. n1, ..., n_(i-1) 잡고 dis(p, p_n_i) < 1/i이도록 n_(i-1) < n_i인 n_i 잡으면 됨. p_n_i converges to p. 
(b) bounded subset of R^k.. k-cell is compact. End.
 
Theorem. subsequential limits of sequence를 모아놓은 집합은 closed subset of X이다.
 
pf). 
E*이라 하자. q를 E*의 limit point라 하면, p_n_1 != q이도록 n_1 잡고 \delta = dis(q, p_n_1)이라 하자. q가 E*의 limit point이므로 dis(x, q) < 2 ^ (-i) \delta인 x \in E* 존재하고, n1, ..., n_(i-1) 잡았다 하면 x \in E*이므로 n_i > n_(i-1)인 n_i 존재하여 dis(x, p_n_i) < 2 ^ (-i) \delta이다. dis(q, p_n_i) <= 2 ^ (1 - i) \delta for i = 1, 2, .. . 이므로 p_n_i는 q에서 수렴, 따라서 q \in E*. 
 
## Cauchy Sequences
 
Definition. Sequence가 Cauchy Sequence이면, every e > 0에 대해 exist N, 
n, m >= N이면 dis(p_n, p_m) < e이다. 
 
metric space X에서 S = {d(p, q) | p, q \in E}라 하면 sup S = diam E라 하자.
Cauchy Sequence <-> E_N = {p_i | i >= N}이라 하면 lim diam E_N = 0.
 
Theorem. 
(a) diam E bar = diam E.
(b) K_n is sequence of compact set in X and K_(n+1) \in K_n, and lim diam K_n = 0.
then \caps K_n is only exacly one point.
 
pf)
(a)
E \in Ebar이므로 diam E <= diam Ebar.
p, q \in Ebar 고르면, by def of Ebar, exist p', q' \in E, dis(p, p') < e and dis(q, q') < e.
dis(p, q) < dis(p, p') + dis(p', q') + dis(q', q) < 2e + diam E.
즉 diam Ebar <= 2e + diam E. diam E = diam Ebar.
(b)
K is nonempty by 2.36. if contains more than 2 points, diam K > 0, and K \in K_n, so diam K_n >= diam K > 0. contradiction.
 
Theorem.
(a) any metric space X, converge -> cauchy sequence.
(b) X is compact metric, then cauchy sequence -> converges to some point in X.
(c) in R^k, cauchy -> converge.
 
pf)
(a) e 잡으면, e/2에 대해 |p-p_n| < e/2 if n > N. then, |p_n - p_m| < |p_n - p| + |p - p_m| < e for n, m >= N.
(b) E_N = {p_i | i >= N}이라 하면, 위 정리에 의해 diam E_N bar = 0.
E_N bar은 compact space X의 closed subset이므로 compact. E_(N+1) \in E_N ..
즉, \caps E_i는 nonempty, by above theorem, only one element, c exist. 
e > 0가 주어졌을 때 exist N_0, diam E_N bar < e if N >= N_0. 
c \in E_N bar이므로 dis(c, q) < e for all q \in E_N bar. 즉, dis(p, p_n) < e if n >= N_0. End.
(c) 마찬가지로 E_N 정의. for some N, diam E_N < 1이고, 따라서 {x_n}은 bounded. every bounded subset of R^k has compact closure in R^k. 따라서 (b)에 의해 성립.
 
Definition. metric space 중 모든 cauchy sequence가 converse하다면 이를 complete하다고 하자. 
3.11 (b) (c) -> compact metric space는 complete, R^k는 complete.
not complete한 space의 예시? rational number set Q, d = |x - y|.
 
Definition. Monotonically.(R^1에서)
monotonically increasing if s_n <= s_(n+1)
monotonically decreasing if s_n >= s_(n+1)
 
Theorem. (단조수렴정리) {s_n}이 monotonic할 때,
converges <-> bounded.
pf) let E = range of {s_n}.
if {s_n} bounded, let s = sup E, then s_n <= s.
there exist int N, such that s-e < s_n <= s. (아니면 s-e가 upper bound이므로 sup 조건에 모순)
따라서 n >= N이면 s-e < s_n <= s이므로 converges.
converge -> bounded임은 모든 metric space에서 성립.
 
## Upper limits, Lower limits.
 
for all M, exist N, n >= N -> a_n >= M이면 a_n -> +inf라 한다. 반대면 -inf.
 
Definition. {s_n} is sequence of R. E = {x | x \in (R + {inf, -inf}), x is subsequential limit of s.}
s_starabove = sup E, s_starbelow = inf E.
이를 각각 upper limit, lower limit라 한다. 즉 s_starabove = lim sup s_n, s_starbelow = lim inf s_n.
 
Theorem.
(a) s_starabove \in E
(b) x > s_starabove, then exist int N, n>=N -> s_n < x.
moreover, s_starabove는 (a), (b) 만족하는 유일한 값이다.
s_starabove = s*, s_starbelow = s_*
pf)
(a) s_starabove = +inf라면 not abounded above고, 따라서 exist subsequence ..
s_starabove is real이라면 E는 bounded above이고, 따라서 적어도 1개의 subsequential limit exist하고, 3.7에 의해 E가 closed set이므로 성립.
s_starabove = -inf라면 -inf만 원소로 가지므로 성립.
(b) x >=s_n for infinitely many n 만족하는 x>s* 존재시 exist y \in E such that y >= x > s*, contradiction.
 
uniqueness) (a), (b) 만족하는 p, q 잡자. p < q라 하면, p < x < q인 x 잡고, p는 (b) 만족하므로 s_n < x for n >= N, 따라서 q는 (a) 만족 못함. 모순
 
s_n <= t_n for 일정 이상 n이라면,
lim inf s_n <= lim inf t_n이고 lim sup s_n <= lim sup t_n.
 
## Series
 
Complex-valued series들을 다루자.
 
sigma n=1, inf a_n.
 
Theorem. sigma a_n converges <-> for every e > 0, exist int N, |sigma k=n~m, a_k| <= e
 
Theorem. (일반항판정법) if sigma a_n converges, then lim a_n = 0.
 
Theorem. A series of nonnegative terms converges <-> partial sums form a bounded sequence. (monotonic...?)
 
Theorem. (비교판정법)
(a) if |a_n| <= c_n for n >= N_0(fixed integer).. sigma c_n converges -> sigma a_n converges.
(b) a_n >= d_n >= 0 for n >= N_0(fixed).. sigma d_n diverges -> sigma a_n diverges.
 
pf)
e > 0 주어지면, there exist N >= N_0, m >= n >= N일 때 sigmak=n~m c_k <= e by cauchy criterion.
따라서 |sigma k=n~m a_k| <= sigma |a_k| <= sigma c_n <= e.(a) End.
(b)는, a_n이 converge하다면 d_n도 converge하므로(by (a)) 
 
 
examples.. 0 <= x < 1일 때 sigma n=0~inf x^n = 1/(1-x).
 
Theorem. a_1 >= a_2 >= ... >= 0이라면, 
sigma a_n converges <-> sigma 2^k a_(2^k) = a1 + 2a2 + 4a4 + .. converges.
 
pf. s_n = a1 + a2 + .. an, t_k = a1 + 2a2 + .. + 2^k a_(2^k)
n < 2^k일 때 s_n <= t_k. n > 2^k일 때 2s_n >= t_k.서로 bounded or both unbounded이므로 성립.
 
Theorem. sigma 1/n^p converges if p > 1. diverges if p <= 1.
 
pf) use below theorem.
 
Theorem. sigma 1/n(log n)^p.. p > 1 : converges, p <= 1 diverges.
 
이건.. 계속 마찬가지이다. sigma 1/nlogn loglogn은 diverges하지만 sigma 1/nlogn(loglogn)^2는 converges.
 
## NUMBER e.
 
DEFINITION. e = sigma 1/n!.
 
s_n = 1 + 1 + ... < 1 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... < 3이므로 converges.
 
Theorem. lim (1+1/n) ^ n = e.
 
pf)
s_n = sigma 1/k!. t_n = (1+1/n)^n.
by binomial theorem,, t_n <= s_n.. so lim sup t_n <= e.
 
n >= m일 때, t_n >= 1 + 1 + 1/2!(1-1/n) + ... + 1/m!(1-1/n)...(1-(m-1)/n)
n -> inf, m fixed.. then lim inf t_n >= 1 + 1 + .. + 1/m!.
so that s_m <= lim inf t_n. End.
 
그리고, e - s_n = 1/(n+1)! + ... < 1/(n n!). 
 
그리고, e는 irrational이다. e = p/q라 하면 0 < q!(e - s_q) < 1/q이므로 모순.
 
## TESTS
 
Theorem. (Root Test). \alpha = lim sup (|a_n|)^(1/n).
(i) \alpha < 1 : sigma a_n converges
(ii) \alpha > 1 : sigma a_n diverges
(iii) \alpha = 1 : idk
 
pf) 
exist \alpha < \beta < 1, N, n >= N -> |a_n| < \beta ^ n .. 비교판정법.
 
Theorem. (Ratio Test)
(i) lim sup |a_(n+1)| / |a_n| < 1 -> sigma a_n converges
(ii) n >= n_0인 모든 n에 대해 |a_(n+1) / a_n| >= 1이면 sigma a_n diverges.
 
pf) 
(a)라면, exist \beta < 1, n >= N -> |a_(n+1) / a_n| < \beta.. |a_n| < |a_N| \beta^(n - N)
(b)는, lim a_n != 0..
 
Theorem. (Root test has wider scope) {a_n} is positive number sequence.
lim inf a_(n+1) / a_n <= lim inf (a_n) ^ (1/n)
lim sup (a_n) ^ (1/n) <= lim sup a_(n+1) / a_n
 
pf)
\alpha = lim sup a_(n+1) / a_n이라 하자.
\alpha = inf라면 증명할게 없음, \alpha가 finite라면 \beta > \alpha인 \beta 잡으면
exist integer N, n >= N -> a_(n+1) / a_n <= \beta. 즉 a_n <= a_N \beta ^ (n-N)
즉 (a_n) ^ (1/n) <= \beta (a_N \beta^(-N))^(1/n).. 
따라서 lim sup a_n^(1/n) <= \beta. 따라서, lim sup a_n^(1/n) <= \alpha.
 
## Power Series
 
sigma c_n z^n을 power series라 하며, c_n을 coefficients of series라 한다. 
 
Theorem.(수렴반경) \alpha = lim sup (|c_n|)^(1/n)이라 하면, R = 1 / \alpha이며
|z| < R일 때 converges, |z| > R일 때 diverges. 
 
pf) a_n = c_n z^n이라 두고 root test. 
 
## Summation by Parts
 
A_n = sigma a_k라 하면..
Theorem. 0 <= p <= q에 대해,
sigma n=p~q a_nb_n = sigma n=p~(q-1) A_n(b_n - b_(n+1)) + A_qb_q - A_(p-1)b_p.
 
pf. just calculate.
it is, partial summation formula.
 
Theorem. 다음 3개가 모두 만족한다면, sigma a_nb_n converges.
(i) A_n is bounded
(ii) b_0 >= b_1 >= ...
(iii) lim b_n = 0.
 
pf) |A_n| <= M인 M 잡자. \epsilon > 0 주어지면, exist int N, b_N <= \epsilon / 2M. 
N <= p <= q인 p, q에 대해
| sigma n=p~q a_n b_n| = |sigma n=p~q-1 A_n(b_n - b_(n+1)) + A_qb_q - A_(p-1)b_p |
<= M |sigma n=p~(q-1) (b_n - b_(n+1)) + b_q + b_p| = 2Mb_p <= 2Mb_N <= \epsilon. End.
 
Theorem. (단조수렴정리) |c_1| >= |c_2| >= ...
c_(2m-1) >= 0, c_(2m) <= 0, lim c_n = 0. then sigma c_n converges.
 
pf) a_n = (-1)^n, b_n = |c_n|. use above theorem. 
 
## Absolute Converges
 
converge absolutely <-> sigma |a_n| converges.
 
자명히, converge absolutely -> converge.
 
## Addition and Multiplication of series.
 
Theorem. A = sigma a_n, B = sigma b_n,, then 
sigma (a_n + b_n) = A + B, and sigma c a_n = cA.
 
c_n = sigma k=0~n a_k b_(n-k)라 하면 sigma c_n을 product of two given series라 한다. 
 
sigma c_n -> AB가 아닐 수 있다..
sigma (-1)^n / sqrt(n+1)의 경우 이는 수렴하지만 |c_n| >= sigma 2/(n+2)에서 c_n이 수렴하지 않는다. 즉..
 
Theorem.
(i) sigma a_n converges absolutely.
(ii) sigma a_n = A, sigma b_n = B, c_n = sigma k=0~n a_k b_(n-k)
then, sigma c_n = AB.
 
pf A_n, B_n, C_n 정의, \beta_n = B_n - B.
C_n = a0b0 + (a0b1+a1b0) + ... + (a0bn+a1b_(n-1) + ... + a_nb_0)
= a_0B_n + a_1B_(n-1)+...+a_nB_0
=a_0(B+\beta_n) + a_1(B + \beta_(n-1)) + ... 
= A_n B + a_0 \beta_n + .... + a_n \beta_0
 
lete \gamma_n = a_0 \beta^n + .... + a_n \beta_0. 우리의 목표는, lim \gamma_n = 0.
\alpha = sigma |a_n|이라 하자. e > 0 given일 때, \beta_n -> 0이고, 따라서 N을 잘 골라 |\beta _n| <= e for all n >= N.
따라서 |\gamma_n| <= |\beta_0a_n + ... + \beta_Na_(n-N)| + |\beta_(N+1) a_(n-N-1) + ... + \beta_n a_0|
<= |\beta_0a_n + ... + \beta_N a_(n-N)| + e \alpha.
N 고정시, n -> inf로 가면 lim sup |\gamma^n| <= e \alpha이므로 끝.
 
그냥 단순히 sigma a_nb_n이 수렴하다면, sigma a_nb_n = sigma a_n x sigma b_n이다. 증명은 8단원.
 
## Rearrangement. 
 
Theorem. (Riemann Rearrangement Theorem.) sigma a_n이 converge하는 real numbers이고, not absolutely converges일 때,  -inf <= \alpha <= \beta <= inf인 \alpha, \beta에 대해 EXIST rearrangement of a_n, sigma a_n', s_n', ..
lim inf s_n' = \alpha, lim suf s_n' = \beta.
 
pf)
p_n = (|a_n| + a_n) / 2. q_n = (|a_n| - a_n) / 2라 하면 p - q = a, p + q =|a|. p, q >= 0.
이때 sigma p_n, sigma q_n 둘 다 diverge. (둘다 수렴하다면 sigma (p+q) = sigma |a|이므로 모순, 하나만 수렴시 p-q = a이므로 모순)
sigma a_n의 nonnegative terms를 P_1, P_2, ...라 하면, (순서대로) 그리고 negative는 Q_1, Q_2, ... 라 하면, 일단 sigma P_i, sigma Q_i는 both divergence함. 우리의 목표는, 적절한 {m_i}, {k_i} 구하기. 
series를 다음과 같이 rearrangement한다. 
(P_1 + ... + P_m_1) - (Q_1 + ... + Q_k1) + (P_(m1+1) ~ P_m2) - (Q_(k1+1) ~ Q_k2) + ...
\alpha_n, \beta_n real valued sequence를 잡자. \alpha_n -> \alpha, \beta_n -> \beta, \alpha_n < \beta_n이며 \beta_1>0이도록 잡자. 
P_1 + ... + P_m1 > \beta_1, (P_1~P_m1) - (Q1~Q_k1) < \alpha_1인 최소 m1, k1을 잡고, ... 반복해 m2, k2, .,, construct.
 
sigma P_n, sigma Q_n diverge하므로 저런 {k_i}, {m_i} construct 가능. x_n, y_n을 rearrangement의 partial sum(last term이 P_(m_n), -Q_(k_n))인)이라 하자. 
그러면, |x_n - \beta_n| <= P_(m_n), |y_n - \alpha_n| <= Q_k_n. P와 Q는 0으로 수렴하므로 x_n -> \beta, y_n -> \alpha이므로, 끝. End.
 
반대로..
Theorem.. sigma a_n is series of Complex numbers and converges absolutely. then 
every rearrangement of sigma a_n converges하며 converge하는 값은 모두 동일.
 
pf) sigma a_n', s_n'이 rearrangement라 하면 given e > 0 에 대해 exist N, 
m >= n >= N인 m, n에 대해 sigma i=n~m |a_i| <= e. 
p = max(k_1, k_2, ..., k_N)이라 하면 n > p일 때 a_1, a_2, ..., a_N은 s_n - s_n'의 difference에 cancel될 것이며, 따라서 |s_n - s_n'| <= e이므로 {s_n}의 converge 구역에서 같이 converge. 
 
## Exercises
쓰던거날아가서대충씀
1)
|s_n-s| > |s_n| - |s| > -|s_n - s|
| |s_n| - |s| | < | | s_n - s| | = |s_n - s| < e
 
2)
sqrt(n^2+n) - (n+1/2) = (-1/4) / (sqrt(n^2+n) + (n+1/2)), n 적당히크게잡으면됨
 
3)
s_n < 2 귀납으로보이고, 
s_(n-1) < s_n 가정시 sqrt(s_(n-1)) < sqrt(s_n)에서 s_n<s_(n+1) 보일 수 있음, 단조수렴정리에의해 수렴
 
4)
0, 0.5, 0.25, 0.75, 0.375, 0.875..
s* = 1, s_* = 0.5
 
5)
lim sup a = A, lim sup b = B, lim sup a+b = C.
C > A+B 가정. let d , A+B+2d < C
A+d > A이므로 exist N_1, n >= N_1 -> a_n < A+d
B+d > B .. exist N_2. b_n < B+d
n > max(N_1, N_2) a_n + b_n < A+B+2d  < C.  subsequence cannot converge to C. End.
 
6) 
(1) sum a_n = sqrt(n+1) - 1. diverge
(2) a_n = 1/n(sqrt(n+1) + sqrt(n)) < 1 / 2nsqrt(n). diverge.
(3) root test. converge.
(4) |z| > 1 일 땐 ratio test로 converge. |z| <= 1이면 a_n not to 0. diverge.
 
7) a_n > 1/n^2인 n을 A, 아니면 B라 하자.
sigma n \in A sqrt(a_n) / n < a_n
sigma n \in B a_n < 1/n^2
즉 sigma n sqrt(a_n) / n < a_n + 1/n^2. converge.
 
8) 
sigma k=p~q a_kb_k에 대해, M - m < b_k < M인 k > N들에 대해서 a_k가 양수일때/음수일때 나누어서 처리해주면 sigma a_kb_k를 sigma a_k x 무언가로 바운드 가능. cauchy sequence가 되므로 converge.
 
9) 
(a) 1.
(b) e^(2z). inf.
(c) 1/2
(d) 3.
 
10)
\alpha = lim sup (a_n)^(1/n). R = 1 / \alpha.
a_n >= 1이므로  R <= 1. End.
 
11)
(a) a_n이 bounded가 아니라면 a_n / (1+a_n)이 0으로 안가서 diverges.
bounded이면 a_n / (1+a_n) > ka_n인 k 존재. diverges
(b)
a_(N+1) / s_(N+1) >= a_(N+1) / s_(N+k) ...
LHS >= (a_(N+1) + a_(N+2) + .. + a_(N+k)) / s_(N+k) = RHS.
converge하다면 e>0에 대해, 
e > |sigma k=p+1~q a_n / s_n | > |1 - s_p/s_q| = |sigma k=p+1~q a_k| / s_q. s_q -> inf? 모순
 
(c)
s_(n-1)  <= s_n.
sigma ~ <= 1/s_1 - 1/s_n
converge.
(d)
첫번쨰꺼) a_n = 1/n, a_n = {n=2^k-1일 때 1, 아닐때 1/n^2} 수렴할수도.. 발산할수도..
두번째꺼) ~ < 1/n^2. 
 
12)
(a) isw 12-b
(b) a_n (sqrt(r_n) + sqrt(r_(n+1))) < 2 sqrt(r_n) a_n End.
 
13) 
ㅁㄹ
 
14)
(a) 잘하면됨
(b) (-1)^n
(c) s_(2^k) = k, else 1/k^2
(d) 식은 자명하고, by (a), 우변이 0으로 converges. 따라서 {s_n} converges.
(e) 책의 증명을 감명깊게 감상했다.
 
15) 잘하면됨
 
 
16)
(a) x_n > sqrt(\alpha)임을 아마 귀납으로 보일 수 있을 거고, 거기에서 
x_n > x_(n+1) 증명가능. 단조수렴정리에 의해 수렴하고, 수렴값 c라 하면 c = sqrt(\alpha) 인거 보일 수 있음
 
(b) 잘하면됨
 
17)
(a), (b) 둘다 직접 넣어보면 앎
(c) a, b 에서 둘다 수렴하고, 수렴값 a, b라 하고 계산하면 둘다 됨.
(d)  h
 
18)
\alpha ^ (1/p)으로 수렴.
 
19) 그냥같음
 
20)
e 잡으면 |p_n - p| <= |p_n - p_m| + |p_m - p| (m \in n_i sequence) <= 2e 되도록 N 잘 setting해주면 됨
 
21)
x_n \in E_n이도록 x_n 하나씩 잡으면 cauchy sequence이고, complete이므로 converges, 이를 p라 하자. E_n 기준 x_n, x_(n+1), ...은 p으로 수렴하므로 p는 E_n의 limit point이고, 따라서 p \in E_n. 여기에서 p \in Union E_i이므로 nonempty인건 증명됨. 2개 이상일 경우 lim diam E_n not zero. End.
 
22)
E_1, E_2, ... E_(k-1) 잡고, E_k bar \in G_k이도록, 그리고 E_k \in E_(k-1)이도록 잡아보자.
G_k \caps E_(k-1) bar 생각. dense open이므로 E_(k-1)의 중심을 c_(k-1)이라 하면, E_(k-1)에 속하는 G_k의 원소 c_k 존재.(dense하므로) 그리고 G_k는 open이므로 N_r(c_k) \in G_k인 r 존재, E_k = N_(r/2) (c_k)라 하면 위 조건 만족, by (21), End.
 
 
23)
m, n 크면 |d(p_n, q_n) - d(p_m, q_m)| <= d(p_n, p_m) + d(q_m, q_n) < 2e. End
 
24)
(a) 걍하면됨
(b) 23의 증명에 의해 trivial
(c) sequence of equivalence class를 생각해보면 이게 cauchy sequence일 경우..
Q_1, Q_2, ..라 하자. 마치 대각선 논법처럼, sequence t 정의.
t_i = Q_i에 대해 차이가 2^(-i) 이하가 되는 최소 j 잡아서 Q_ij. 
(d) trivial by (b)
(e) X가 complete면 같은건 자명. dense인건, 임의의 p 에 대해 x_i = {모든 항이 p_i}으로 하면 x_i의 limit가 p.
 
25)
Real number space is completion of this space.