PMA Chapter 5 : Differentiation

왠만해선 real function만 다룰 것이다.

 

## Derivative of Real function

 

Definition. f가 [a,  b]에서 정의된 real-valued function일 때,

any x \in [a, b]에 대해 \phi(t) = (f(t) - f(x)) / (t-x) (a<t<b, t != x)이라 하면

f'(x) = lim t->x, \phi(t).

 

Theorem. f defined on [a, b]. f가 point x \in [a, b]에서 differentiable하면 x에서 continuous.

 

pf) t->x일 때 f(t) - f(x) = ( (f(t) - f(x)) / (t-x) ) * (t-x) -> f'(x) x 0 = 0.

 

Theorem.

(i) (f+g)' = f' + g'

(ii) (fg)' = f'g + fg'

(iii) (f / g)' = (gf' - g'f) / g^2 (g(x) != 0)

 

pf) (ii) : (fg)(t) - (fg)(x) = f(t) (g(t) - g(x)) + g(x) (f(t) - f(x))

(iii) : (f/g)(t) - (f/g)(x) = 1/g(t)g(x) * (g(x) (f(t) - f(x) / (t-x) - f(x) (g(t) - g(x)) / (t-x) )..

 

여기에서, integer n에 대해 (x^n)' = n x^(n-1) 증명됨.

 

Theorem. (Chain Rule) f is continuous on [a, b], f'(x) exists at some point x \in [a, b].

g is defined on an interval I which contains the range of f, and differentiable at point f(x).

h(t) = g(f(t)) (a <= t <= b)이면 h는 x에서 differentiable하며 h' = g'(f(x)) f'(x).

 

pf)

y = f(x)라 하면, f(t) - f(x) = (t-x) (f'(x) + u(t)), g(s) - g(y) = (s-y) (g'(y) + v(s))

s = f(t)라 하자. h(t) - h(x) = g(f(t)) - g(f(x)) = (f(t) - f(x)) (g'(y) + v(s)) = (t-s) (f'(x) + u(t)) (g'(y) + v(s))

t != x이면 (h(t) - h(x)) / (t - x) = (g'(y) + v(s)) (f'(x) + u(t)). v(s) -> 0, u(t) -> 0. End.

 

Example 몇개를 살펴보면

f(x) = xsin(1/x) if x != 0, else 0. f'(x) = sin(1/x) - (1/x) cos(1/x)이고, lim x->0 f'(x) 생각시 존재 안함.

f(x) = x^2 sin(1/x) if x!=0, else 0으로 잡자. f' = 2x sin(1/x) - cos (1/x)이고, lim x->0 f'(x) 생각시 f'(0) = 0.

즉 이 함수에서 f는 all point x에서 differentiable(즉 f' 존재) 하지만, f'이 continuous하진 않다. (0에서 discontinuous)

 

 

## Mean value Theorem

 

Definition. f가 metric X에서 정의된 real function일 때 

f가 p \in X에서 local maximum이려면, exist \delta > 0, 

q \in X이고 d(p, q) < \delta인 모든 q에 대해 f(q) <= f(p).

 

Theorem. f가 [a, b]에서 defined되었다 하자. f가 x \in (a, b)에서 local maximum 가지면 f'(x) = 0.

 

pf)

\delta를 정의대로 잡자. a < x - \delta < x < x + \delta < b

x - \delta < t < x이면 (f(t) - f(x)) / (t-x) >= 0이고 f'(x) >= 0.

x < t < x + \delta이면 (f(t) - f(x)) / (t - x) <= 0이고 f'(x) <= 0. 따라서 f'(x) = 0.

 

Theorem. (Generalized Mean Value Theorem) f and g are continuous real function on [a, b], differentable in (a, b). 

exist x \in (a, b), such that (f(b) - f(a)) g'(x) = (g(b) - g(a)) f'(x). (end point, 즉 a, b에서의 differentability는 요구하지 않는다.)

 

pf)

h(t) = (f(b) - f(a)) g(t) - (g(b) - g(a)) f(t). (a <= t <= b)는 [a, b]에서 continuous하고 (a, b)에서 differentiable하며, 

h(a) = f(b)g(a) - f(a)g(b) = h(b)이다. 우리의 목표는, exist x \in (a, b) h'(x) = 0인 것이다. 

h가 상수함수라면 모든 x에 대해 성립하므로 끝. h(t) > h(a)인 t가 존재한다면, 정리 4.16(compact metric X에서 정의된 continuous real function에서 M = sup f(p)라 하면 exist p \in X, f(p) = M)을 이용하자. h는 maximum을 가지며, 이때의 x를 잡으면 위 Theorem에 의해 (maximum은 자명히 local maximum이므로) h'(x) = 0. End. h(x) < h(a)라면 minimum으로 해주면 됨.

 

Theorem. (Mean Value Theorem). exist x \in (a, b), f(b) - f(a) = (b-a) f'(x)

pf) above theorem에서 g(x) = x

 

Theorem. f가 (a, b)에서 differentiable하다면

(i) f'(x) >=0 for all x \in (a, b)이면 monotonically increasing

(ii) f'(x) = 0 for all x \in (a, b)이면 constant

(iii) f'(x) <= 0 for all x \in (a, b)이면 monotonically decreasing

 

pf) Mean Value Theorem.

 

 

## Continuity of Derivatives

 

Theorem. f : real differentiable functions on [a, b] and f'(a) < \gamma < f'(b). then exist x \in (a, b), f'(x) = \gamma. 

 

pf)

g(t) = f(t) - \gamma t. g'(a) < 0.. so g(t_1) < g(a) for some t_1, and g'(b)>0, so g(t_2) < g(b) for some t_2..

so [a, b]에서 minimum은 (a, b)에서 존재하므로 x 잡으면 g'(x) = 0. End.

 

따라서, f가 [a, b]에서 differentiable하다면 f'은 simple discontinuities일 수 없다. (simple : f(x-), f(x+) 존재)

 

## L'hospital's rule

 

Theorem. f, g is real and differentiable in (a, b), and g'(x) != 0 for all x \in (a, b). (-inf <= a < b <= inf)

x->a일 때 (f(x)->0, g(x) -> 0) or g(x) -> inf라면..

x -> a일 때 f'(x) / g'(x) -> A라면..

 

x -> a일 때 f(x) / g(x) -> A이다.

 

pf)

-inf <= A < inf일 때만 고려하자. A < q인 real q를 잡고 A < r < q인 r 잡자. 

exist c \in (a, b), a < x < c -> f'(x) / g'(x) < r인 c 존재. (x -> a일 때 f'(x) / g'(x) -> A이므로)

a < x < y < c일 때, by generalized mean value theorem, exist t \in (x, y), 

(f(x) - f(y)) / (g(x) - g(y)) = f'(t) / g'(t) < r이다. (a < t < c이므로)

만약 (f(x) -> 0, g(x) -> 0)이라면 x -> a로 보내면 f(y) / g(y) <= r < q (for a < y < c)

만약 (g(x) -> inf)이라면 y를 고정하고, g(x) -> inf이므로 exist c_1 \in (a, y), g(x) > g(y), g(x) > 0 for all a < x < c_1.

이러면 (g(x) - g(y) / g(x)가 positive이므로 이를 양변에 곱하면

f(x) / g(x) < r - r g(y) / g(x) + f(y) / g(x) (a < x < c_1일 때)

x -> a로 간다면, 위 부등식에서 g(x) -> inf이므로 f(x) / g(x) < q. 

두 case 모두에서 f(x) / g(x) < q for all A < q. 반대도 마찬가지로.. 해주면 됨.

 

## Derivatives of Higher Order

 

Definition. derivative of f' = f''.. second derivative of f. 그대로 f, f', f'', f^(3), ..., f^(n)..으로 표기.

f^(n) (x)가 x에서 exist하기 위해선 f^(n-1) (t)가 x의 neighborhood에서 존재해야 하며 x에서 differentiable해야 함. ..

 

## Taylor's Theorem

 

Theorem. f가 [a, b]에서 real function이고 n이 positive integer이며, f^(n-1)이 [a, b]에서 continuous하고 f^(n) (t)가 모든 t \in (a, b)에서 존재할 때, \alpha, \beta가 [a, b]의 distinct point of [a, b]일 때, 

P(t) = sigma_k=0~(n-1), f^(k) (\alpha) (t - \alpha) ^ k / k!이라 하면, 

\alpha와 \beta 사이 x가 존재하여 f(\beta) = P(\beta) + (f^(n) (x) / n!) (\beta - \alpha) ^ n

 

pf)

f(\beta) = P(\beta) + M (\beta - \alpha) ^ n이라 하자.

g(t) = f(t) - P(t) - M (t - \alpha)^n이라 하면 g(\beta) = 0.

우리의 목표는, n! M = f^(n) (x) 만족하는 x 가 \alpha와 \beta 사이 존재하는 것이다. 

g를 미분. g^(n) (t) = f^(n) (t) - n! M. 즉, g^(n) (x) = 0인 x를 잘 찾아보자. 

P^(k) (\alpha) = f^(k) (\alpha)이므로(k = 0~n-1), g(\alpha) = g'(\alpha) = g''(\alpha) = .. = g^(n-1) (\alpha) = 0

g(\beta) = 0이므로 g'(x_1) = 0인 x_1 존재, g'(x_1) = 0, g'(\alpha) = 0이므로 x_2 존재해서 g''(x_2) = 0, ...

반복하면 exist x_n, g^(n) (x_n) = 0임. End.

 

## Differentiation of Vector-valued functions

 

complex? complex function f에 대해 real part, imaginary part를 f_1, f_2라 하자. 

즉 f(t) = f_1(t) + i f_2(t) for a <= t <= b. 둘 다 real이므로 f' = f_1' + i f_2'을 얻는다. 즉 둘다 differentiable <-> f differentiable. ..

lim t -> x, | (f(t) - f(x)) / (t-x) - f'(x) | = 0. 이러면 f'은 R^k의 value 가짐.

즉 f의 components를 (f_1, f_2, ..., f_k)라 하면 f' = (f_1', f_2', ..., f_k')이며 이들이 모두 x에서 differentiable해야 f도 differentiable이며 역도 성립.

 

f(x) = e^(ix) = cos x + i sin x같은걸 보면 f(2pi) - f(0) = 0이지만 f'(x) = ie^(ix)이므로 |f'(x)| = 1 for all x이므로, 위의 mean value theorem같은거 성립 안한다.

 

f(x) = x, g(x) = x + x^2 e^(i / x^2) 이따구로 잡아보면 |e^(it)| = 1 for all t이므로

lim x -> 0, f(x) / g(x) = 1이다. 

g'(x)의 경우 g'(x) =  1 + (2x - 2i/x) e ^ (i/x^2)(0 < x < 1일 때) 이므로

|g'(x)| >= |2x - 2i / x| - 1 >= 2/x - 1, 따라서 |f'(x) / g'(x)| = 1 / |g'(x)| <= x / (2-x)이므로 x -> 0일 때, f'(x) / g'(x) -> 0.

즉 L'hospital's theorem같은거 성립 안한다.

 

vector-valued function에서 성립하는건, |f(b) - f(a)| <= (b-a) sup |f'(x)| 정도.

 

Theorem. f이 [a, b] -> R^k인 continuous mapping이며 (a, b)에서 differentiable할 때, 

exist x \in (a, b), such that |f(b) - f(a)| <= (b-a) |f'(x)|. 

 

pf)

z = f(b) - f(a)로 두고 \phi(t) = z dot f(t) (a <= t <= b)

\phi는 일단 real-valued이며 continuous이고, (a, b)에서 differentiable하기까지 한다. 얘는 real valued이므로 mean value theorem 적용하면 \phi(b) - \phi(a) = (b-a) \phi'(x) = (b-a) z dot f'(x) for some x \in (a, b)

또한 \phi(b) - \phi(a) = z dot f(b) - z dot f(a) = |z|^2.. 

|z|^2 = (b-a) |z dot f'(x)| <= (b-a) |z| |f'(x)| (cauchy-schwarz inequality)

따라서 |z| <= (b-a) |f'(x)|. End.

 

## Exercises

 

1)

| (f(x) - f(t)) / (x - t) | <= |x - t|이므로 f'(t) exist하고 0임. by mean value theorem..

 

2)

just do it

 

3)

f는 derivative, 즉 continuous. monotonically increase함을 보이자.

f'(x) = 1 + \epsilon g'(x). \epsilon < 1/M으로 잡으면 f'(x) >= 0. monotonic.

 

4)

f(x) = c_n x^(n+1) / (n+1) + ... + c_1 x^2 / x + c_0 x

f(0) = 0, f(1) = 0.. exist x \in (0, 1), f'(x) = 0. End.

 

5)

differentible인것도, 0인것도, 그냥 위의 정리 쓰면 된다.

 

6)

(i) f is continuous for x >= 0

(ii) f'(x) exist for x > 0

(iii) f(0) = 0

(iv) f' monotonically increasing

g(x) = f(x) / x. f continuous하므로 x > 0일 때 g(x) continuous,, 그리고 f'(x) exist하므로 g는 differentiable

g' = f(x) ( - 1/x^2) + f'(x) / x = (x f'(x) - f(x)) / x^2.

x f'(x) - f(x) >= 0 <-> f(x) <= x f'(x) <-> f(x) / x <= f'(x)

f(x) / x = (f(x) - f(0)) / (x - 0)이므로 exist 0 < y < x, f(x) / x = f'(y). f'(y) <= f'(x) because of (iv). End.

 

7)

lim t->x ( (f(t) - f(x)) / (t - x) ) / ( (g(t) - g(x)) / (t - x) )으로 바꾸자. 둘다 수렴하고 아래가 nonzero이므로 성립.

 

8)

uniformly differentiable 개념이라 생각하면 된다.. 이게 성립하면 continuous함은 x와 t를 뒤바꾸어주면 된다.

[a, b]는 compact니까 여기서 continuous는 uniformly continuous와 똑같고, mean value theorem 적용해주면 됨.

 

9) 

lim t->0 (f(t) - f(0)) / t = f'(s)이도록 s \in (0, t) 잡을 수 있음.. 따라서 0에 converge하는 수열 t_n에 대해 s_n 잡을 수 있으므로 f'(s_n) -> 3이므로 lim t->0 (f(t) - f(0)) / t = 3. 3으로 exist.

 

10)

f(x) / g(x) = (f(x) / x - A) (x / g(x)) + A x / g(x)

f(x) / x가 A로 converge함을 보이자. f(x)를 real part와 imaginary part로 분리.

f(x) = f_1(x) + i f_2(x). f_1(x) / x, f_2(x) / x 모두 f_1'.., (일단 둘이 미분가능한건 f에서 유도되고, 로피탈 적용 가능하니 이건 A / 1이므로 A.) g(x) / x도 마찬가지.. 수렴하므로, 수렴하는 값들끼리의 사칙연산은 허용되므로 끝.

 

11)

o(h^2). 

 

12)

f'(x) = 3x |x|. f'' = 3x, f'''(0+) = 3, f'''(0-) = -3. End.

 

13)

(a) a > 0이면 lim f(x) = 0이므로 continuous. a <= 0이면 >=..

(b) x>0일 때 f' = ax^(a-1) sin(x^(-c)) + x^a (-c x ^ (-c-1)) cos(x^(-c))??

f' = lim t -> 0 f(t)  / t .. 

나머진 그냥 잘해봅시다

 

14)

a < b < c에서 (f(b) - f(a)) / (b-c) <= (f(c) - f(a)) / (c-a) <= (f(c) - f(b)) / (c-a)

f'(x) > f'(y)이고 x < y인 x, y 있으면 a, b, c를 (x, x+, y)랑 (x, y-, y)으로.

 

15)

문제에서 다 풀어줌

 

16)

그냥 15쓰면됨

 

17) 

문제에서 다 풀어줌

 

18)

풀라는게 뭐임 대체

 

19)

(a) D_n = ( \beta / (\beta - \alpha) ) x ( (f(\beta) - f(0)) / \beta - f'(0)) + ( -\alpha / (\beta - \alpha)) x ( (f(\alpha) - f(0)) / \alpha - f'(0)). \alpha < 0 < \beta이면 두 계수의 부호가 positive이고 1보다 작음.

(b)

0 < \alpha / (\beta - \alpha) < \beta / (\beta - \alpha)이다. \beta / (\beta - \alpha) <= r인 r 잡자.

| (f(x) - f(0)) / x - f'(0) | <= \epsilon / 4r으로 setting하면 된다.

(c) 사잇값 정리 박으면 exist c_n, D_n = f'(c_n). c_n -> 0.

counterexample : 

f(x) = x^2 sin(1/x) (x != 0), else 0. \alpha = 1/(2(n+1/4)pi), \beta = 1/(2npi)

lim D_n = -2/pi != f'(0).

 

20)

exist point x \in (a, b) such that

|f(b) - sigma_j=0~(n-1) (f^(j)(a) / j!) (b-a)^j | <= | f^(n)(x) / n! | (b-a)^n

vector-valued에서면 원래 보이듯이 vector 하나 잡고 projection.

 

21)

f(x) = e^(-1/x^2) if x != 0 else 0

a, b 사이 E^C에 대해 f(x-a)f(b-x)으로 setting.

 

22)

(a) mean value theorem

(b) f' = 1 - (1 + e^(t))^(-2)

(c) f(x_1) = x_1이면 그냥 끝나고

mean value theorem에 의해 -A(a-b) <= f(a) - f(b) <= A(a-b)이므로

f(x_1) < x_1이면 감소하면서 단조감소하면서 bounded, 수렴. 수렴값 정하면 f(x) = x. 

 

23)

(b) 미분하면 22 조건에 맞음

(a), (c) : 일단 강증가/강감소이며, 수렴한다고 가정시 모순

 

24)

??

 

25)

(a) x_n에서의 접선과 x축 교점 좌표

(b) f(x_n)>0, f'(x_n)>0이므로. 일단 단조감소하고 bounded이므로 수렴하고, 수렴값 k라 하면 f(k) = 0.

(c) 위 점화식 이용 x_(n+1) 지우고 식정리하면 x_n에서 1차항까지 테일러정리

(d) (c)식변형시 A(x_(n+1)-asdf) <= (A(x_n-asdf))^2. 

(e) g' = f f'' / f'^2. f -> 0이고 f''은 위로 bounded, f'은 아래로 bounded이므로 g' -> 0.

(f) 더 멀리 나아가~ 무한대로 뻗어가~

 

26)

교과서에서 다 풀어줫는데? [a, a+1/A]에서 0이고, 이걸 a+1/A에서 한번 더하고 .. 더하고..

 

27)